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Matematica come narrazione
La buona dimostrazione di un teorema ha molto in comune con la migliore letteratura.
E chi assiste a essa proverà la stessa sensazione dell’autore

È come la soluzione armonica di un brano musicale. O la rivelazione del colpevole in un giallo

di Marcus Du Sautoy, “La Repubblica”, 1 febbraio 2015

Dopo il grande Fermat, la sfida per generazioni di studiosi è stata quella di trovare un sentiero che portasse da un territorio conosciuto a una terra nuova e misteriosa. Come la storia delle avventure di Frodo nel “Signore degli anelli”. Affermare la fondatezza di una tesi è una descrizione del viaggio dalla Contea a Mordor
I MATEMATICI sono cantastorie. I nostri personaggi sono i numeri e le geometrie. Le nostre storie sono le dimostrazioni che creiamo intorno a questi personaggi. Molte persone pensano che fare matematica consista nel documentare tutte le affermazioni esatte su numeri e geometria: l’irrazionalità della radice quadra di due, la formula per trovare il volume della sfera, un elenco dei gruppi semplici finiti. Secondo uno dei miei eroi matematici, Henri Poincaré, fare matematica è qualcosa di ben diverso: «Creare consiste precisamente nel non realizzare combinazioni inutili. La creazione è discernimento, scelta. […] Le combinazioni sterili non si affacciano nemmeno nella mente del creatore».
La matematica, proprio come la letteratura, consiste nel fare scelte. E allora, quali sono i criteri di uno degli articoli di matematica inclusi nelle riviste di settore che affollano la nostra biblioteca matematica? Perché l’ultimo teorema di Fermat è considerato come una delle grandi opere matematiche del secolo scorso, mentre un altro calcolo numerico altrettanto complicato è considerato banale e privo di interesse? Dopo tutto, che cosa c’è di così interessante nel sapere che un’equazione come xn+ yn= zn non ha nessuna soluzione intera quando n> 2 ?
Secondo me, è la natura della dimostrazione del teorema di Fermat che innalza questa affermazione esatta sui numeri al rango di qualcosa che merita un posto nel pantheon della matematica. E le caratteristiche di una buona dimostrazione matematica hanno molto in comune con la migliore narrativa.
La mia congettura, se dovessi trasformarla in un’equazione matematica, è che: dimostrazione = narrazione. Una dimostrazione è come il libro di viaggio del matematico. Fermat ha scrutato fuori dalla sua finestra matematica e ha visto in lontananza questa vetta matematica, l’affermazione che le sue equazioni non hanno soluzioni intere. La sfida per le generazioni di matematici successivi è stata trovare un sentiero che portasse dal territorio conosciuto, già esplorato dai matematici, a questa terra nuova e misteriosa. Come la storia delle avventure di Frodo nel Signore degli anelli, una dimostrazione è una descrizione del viaggio dalla Contea a Mordor.
All’interno dei confini della Contea, della terra conosciuta, ci sono gli assiomi della matematica, le verità conclamate sui numeri, insieme a quei teoremi che sono già stati dimostrati. È questo il contesto da cui dare inizio alla ricerca. Il viaggio che parte da questo territorio noto è vincolato dalle regole della deduzione matematica, come le mosse consentite per un pezzo degli scacchi, che stabiliscono i passi che si è autorizzati a fare attraverso questo mondo. Certe volte si finisce in quella che sembra un’impasse e bisogna fare quel tipico passo laterale, spostandosi di fianco o magari anche all’indietro per trovare un modo per girarci intorno. A volte bisogna aspettare che vengano creati nuovi personaggi matematici, come i numeri immaginari o il calcolo, per poter continuare il viaggio.
La dimostrazione è la storia del tragitto e la mappa che segna le coordinate del viaggio: il giornale di bordo del matematico.
Una dimostrazione riuscita è come una serie di cartelli stradali che consentono a tutti i matematici successivi di fare lo stesso viaggio. I lettori della dimostrazione proveranno la stessa, eccitante sensazione dell’autore nello scoprire che quel sentiero consente di arrivare a quella vetta lontana. Nella maggior parte dei casi una dimostrazione non cercherà di mettere tutti i puntini sulle I e tutte le stanghette sulle T, proprio come una storia non presenta ogni dettaglio della vita di un personaggio. È una descrizione del viaggio, e non necessariamente la ricostruzione di ogni singolo passo. Le argomentazioni che i matematici forniscono come elementi di prova sono pensate per accendere la fantasia del lettore. Il matematico Godfrey Harold Hardy le descrisse così: «Sciocchezze, ghirigori retorici pensati per influenzare la psicologia, immagini sulla lavagna durante la lezione, congegni per stimolare l’immaginazione degli allievi».
La gioia di leggere e creare matematica viene da quell’entusiasmante momento di rivelazione che proviamo quando tutti i tasselli sembrano andare al loro posto risolvendo il mistero matematico. È come il momento della soluzione armonica in un pezzo musicale o la rivelazione del colpevole in un romanzo giallo.
L’elemento sorpresa è una qualità chiave di una dimostrazione matematica accattivante. Sentite cosa dice il matematico Michael Atiyah a proposito delle caratteristiche della matematica che piace a lui: «Mi piace rimanere sorpreso. L’argomentazione che segue un percorso codificato, con pochi elementi nuovi, è noiosa e insulsa. Mi piace l’elemento inaspettato, un punto di vista nuovo, un collegamento con altre aree, una pestata di piede».
Quando creo una nuova opera matematica le scelte che faccio sono motivate dal desiderio di portare per mano i miei lettori in un viaggio matematico interessante, pieno di curve, svolte e sorprese. Voglio stimolare il pubblico con la sfida di capire perché due personaggi matematici apparentemente scollegati abbiano qualcosa a che fare l’uno con l’altro. E poi, man mano che la dimostrazione prende corpo, ci si rende gradualmente conto, o si capisce all’improvviso, che queste due idee in realtà sono lo stesso identico personaggio.
Questa capacità di trovare collegamenti inaspettati è una delle ragioni per cui amo parlare di uno dei miei contributi al canone matematico. Alcuni anni fa scoprii un nuovo oggetto simmetrico, nei cui contorni si celavano le complessità di soluzioni delle curve ellittiche, uno dei grandi problemi irrisolti della matematica. La dimostrazione che ricamo durante un seminario o nell’articolo che ho scritto per una rivista di settore dimostra come fare per collegare queste due aree apparentemente diversissime del mondo matematico. Scoprire nuovi oggetti simmetrici non è difficile. Il mio computer potrebbe sfornare a getto continuo nuovi esempi di oggetti simmetrici mai presi in considerazione prima. L’arte del matematico sta nel selezionare quelli che raccontano una storia sorprendente. Come diceva Poincaré, è questo il ruolo del matematico: fare scelte.

Questo articolo è un estratto del discorso di Marcus du Sautoy per il lancio del programma Humanities and Science, diretto dal Centro di ricerca in scienze umanistiche dell’Università di Oxford il 2-0 gennaio. www.torch.ox.ac.uk
Traduzione di Fabio Galimberti

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Il turista matematico – 2014

Riprende il viaggio intorno al mondo di Piergiorgio Odifreddi alla ricerca dei segreti della matematica.

Cambogia: dove i numeri sono angeli, “La Repubblica”, 26 luglio 2014

NELL’AUTUNNO del 1901 la nave “Formidabile”, che riportava Pierre Loti in Francia dalla Cina, tradisce il suo nome: ha bisogno di riparazioni, ed è costretta a uno sfibrante ancoraggio a Saigon. Il marinaio scrittore freme, e decide di fare una gita: o meglio, un pellegrinaggio. Va su una barca a vapore fino a Phnom Penh, attraversa con una chiatta il lago del Tonle Sap, e su un carro trainato da bufali arriva finalmente dopo cinque giorni a Siem Reap. Visita per due giorni le rovine di Angkor, e in altri cinque giorni torna a Saigon. Racconterà poi undici anni dopo le sue due settimane cambogiane, descrivendosi come Un pellegrino ad Angkor ( Occidente-Oriente, 2012).
L’articolo indeterminativo è appropriato, perché Loti non è stato l’unico a recarsi ad Angkor con un atteggiamento che si potrebbe definire “spirituale”: molti altri seguirono le sue orme nel primo Novecento, arrivando in auto da Saigon o Bangkok su strade aperte nella giungla indocinese. Il poeta Paul Claudel, ad esempio, che ricorderà il Bayon come «uno degli angoli più maledetti e malefici che abbia mai conosciuto», anche se poi rievocherà la sua esperienza cambogiana nel saggio Il poeta e il vaso d’incenso (Edizioni ETS, 2003).
Ma già nel 1296 Chou Ta-kuan, ambasciatore della Cina imperiale, era arrivato ad Angkor e ne aveva descritte le meraviglie nelle Memorie sui costumi di Cambogia. A partire dal Cinquecento occasionali visitatori avevano poi raccontato le sorti della città in rovina, abbandonata nel 1431 sotto la spinta delle conquiste thai, e avvolta dalla giungla in un abbraccio mortale. Al 1614 risale una precisa descrizione dei monumenti, dovuta al portoghese Diego do Couto, e al 1623 la più antica planimetria del tempio di Angkor Wat, effettuata da un anonimo pellegrino giapponese. Gli esploratori che arrivarono in Cambogia a partire dalla seconda metà dell’Ottocento, con il colonialismo francese, non scoprirono dunque rovine dimenticate: semplicemente, le fecero conoscere a un’Europa largamente ignara della loro esistenza. Primi fra tutti, i racconti del Viaggio nei regni del Siam, di Cambogia e del Laos del naturalista Henri Mouhot, pubblicato postumo nel 1862, e le fotografie di John Thompson, inserite nel 1867 in una Storia dell’architettura universale . Lentamente Angkor entrò nell’immaginario occidentale, fino a diventare una vera mania commerciale. Nel 1878, i disegni belli e fantasiosi dell’ Album pittoresco dell’architetto Louis Delaporte furono esibiti, insieme a varie opere d’arte khmer, all’Esposizione Universale di Parigi. Mezzo secolo dopo, parti del grande tempio di Angkor Wat furono riprodotte a grandezza naturale alle Esposizioni Coloniali di Marsiglia del 1922 e di Parigi del 1931. E ai nostri giorni i monumenti sono finiti come sfondo in vari film: da Lord Jim nel 1965, a Tomb Raider nel 2001.
Oggi i pellegrini sacri e riverenti alla Pierre Loti sono stati rimpiazzati da turisti profani e irriverenti. Basta poco, però, per evitare almeno in parte le orde di coloro che ad Angkor, come in qualunque altro luogo, ci vanno al solo scopo di poter dire di esserci andati. Basta, ad esempio, inforcare una bicicletta e andare alle rovine lungo le disselciate strade che le congiungono a Siem Reap, fermandosi a curiosare nelle scuole o nei templi. O a visitare il memoriale alle vittime dei khmer rossi, costituito da un macabro cumulo di teschi e una galleria di crudi dipinti naif, che ricordano l’ossario risorgimentale di Solferino e gli ex-voto alla madonna di Pompei.
Come per le vestigia di altri imperi, anche quelle cambogiane sono state saccheggiate ed esiliate in luoghi improbabili. Le famose statue del Buddha, di cui il re del Siam si appropriò al momento della conquista della Cambogia settentrionale nel 1431,vennero dapprima trasferite ad Ayutthaya e poi a Mandalay, dove tuttora si trovano. E le statue e i bassorilievi rubati da ladri di tombe quali lo scrittore André Malraux, in seguito paradossalmente diventato ministro della Cultura francese, oggi fanno bella mostra di sé in quei centri di ricettazione universale che sono i grandi musei mondiali. Ma ciò che rimane in loco costituisce comunque una delle meraviglie del mondo, e i suoi gioielli della corona sono il sacro tempio di Angkor Wat, il profano tumulo del Bayon e il memoriale naturale del Ta-Prohm.
Il primo è sicuramente l’attrazione simbolo del paese, tanto da essere rappresentato in effige sulla bandiera e sulle banconote cambogiane, e in un gigantesco modello in scala nel palazzo reale di Bangkok. Fu costruito verso il 1100 come un enorme mandala a rettangoli concentrici, ciascun perimetro dei quali corrisponde a un’ascesa di livello fisico e spirituale. E il passaggio da un livello all’altro rappresenta simbolicamente la salita al mitico monte Meru dalle cinque vette, che gli indù e i buddisti considerano il centro del mondo.
Le gallerie che circondano i vari livelli e il tempio centrale a cinque torri, sono punteggiate di cappelle votive delle due religioni e ricoperte di bassorilievi, rappresentanti scene tratte dal Mahabharata e dal Ramayana . Il più famoso è quello spettacolare, lungo cinquanta metri, della frullatura del mare di latte, in cui 108 angeli (deva) e demoni (asura) tirano da parti opposte, per 1000 anni, un serpente gigante ( naga) avvolto attorno a un monte usato come frusta, e producono infine il nettare dell’immortalità. Nel processo si formano le creature che popolano il mare, in un evidente analogo mitologico della nascita della vita dal brodo primordiale.
108 è il numero magico degli indù e dei buddisti, perché attraverso le sue cifre rappresenta l’unione dell’unità (1), del nulla (0) e del tutto infinito (8). Oltre che nella rappresentazione della frollatura lo si ritrova anche nei grani dei rosari, e nei 54 angeli e 54 demoni che costeggiano i ponti di accesso alla seconda meraviglia di Angkor: il Bayon, centro simbolico e planimetrico della vecchia capitale Angkor Thom.
L’edificio è un ottimo esempio di architettura frattale, in cui la struttura dell’intero si riflette nella struttura delle parti, suggerendo un regresso all’infinito. Ciascuna delle 54 torri del complesso presenta, sui quattro lati, un’immagine del re Jayavarman VII, che lo costruì verso il 1200. E le 216 immagini osservano i pellegrini e i turisti da tutti i lati, senza concedere tregua né agli uni, né agli altri. Questo non impedisce al matematico di osservare, in alcune cappelle, il fallico lingam di Shiva in versione a tre stadi: a sezione quadrata in basso, ottagonale al centro e circolare in alto. Simbolicamente, le tre parti rappresentano la trinità (trimurti) di Brahma, Vishnu e Shiva. Matematicamente, ricordano invece l’approssimazione indiana di 3,11 al valore di pi greco, ottenuta notando che se si tagliano gli angoli di un quadrato si ottiene un ottagono non regolare quasi equivalente al cerchio inscritto, appunto. L’ultimo gioiello di Angkor è il TaProhm, forse il sito più romantico dell’intero complesso. La Scuola Francese dell’Estremo Oriente, che durante il periodo coloniale intraprese il restauro dei monumenti divorati dalla giungla, decise infatti di non abbattere gli alberi di Ceiba pentandra e di Ficus religiosa che avevano stritolato all’esterno e squassato all’interno i monumenti, creando una singolare specie ibrida tra il vegetale e l’architettonico. Passeggiare tra i giganteschi tronchi che hanno avvolto gli edifici nel loro abbraccio mortale, competendo in grandiosità e potenza con gli architetti del passato, non solo ricorda ai turisti la caducità delle costruzioni umane, ma offre loro un’immagine di come i pellegrini avevano visto le rovine, stringendo per un attimo gli uni e gli altri in un abbraccio vitale.

Il Monte Athos e il calendario che ha perduto tredici giorni, 5 agosto 2014

NELLA Macedonia greca, sull’estremo orientale della penisola Calcidica, si trova un promontorio lungo una cinquantina di chilometri e largo una decina, che termina nell’altura di duemila metri del Sacro Monte Athos. L’intemperante tratto del mare Egeo che lo circonda lo protegge dagli intrusi: nel 492 a. C. vi perse trecento navi, e nel 483 a. C. Serse preferì evitarlo con una spettacolare manovra, scavando per tre anni un canale che permise alla sua flotta lo scavalcamento della penisola.

Benché Athos sia il nome di uno dei giganti che parteciparono alla ribellione contro gli dèi dell’Olimpo, il contrappasso vuole che il territorio dell’omonimo Monte sia oggi la sede di uno straordinario luogo dedito all’adorazione delle divinità del Golgota. La mitologia mediorientale racconta di una tappa effettuata dalla Madonna in compagnia di Giovanni, durante una loro gita dalla Palestina a Cipro, per visitare Lazzaro: la madre di Gesù, colpita dalla bellezza del luogo, espresse il desiderio che le venisse dedicato e una voce dal cielo sancì la creazione dell’odierno Giardino della Vergine. A sua volta, la storia vi registra chiese fiorite ai tempi di Costantino, distrutte sotto Giuliano l’Apostata, e rispuntate in seguito all’esodo dei monaci fuggiti dall’Egitto per la conquista musulmana. Nel 963 Atanasio l’Atonita fondò la Grande Lavra, il più importante dei venti monasteri che oggi punteggiano la zona. Si tratta di vere e proprie cittadelle medievali, circondate da mura e alberganti chiese e alloggi per monaci e pellegrini. Nei tempi andati i monaci assommavano a molte migliaia, ma oggi sono ridotti a circa duemila: quasi tutti greci ortodossi. LEGGI TUTTO…

Gli articoli dell’estate 2013: CLICCA QUI.

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Il turista matematico

Il viaggio intorno al mondo di Piergiorgio Odifreddi alla ricerca dei segreti della matematica

1. Così Talete scoprì il teorema della piramide,  “La Repubblica”,  6 agosto 2013

2. Il computer di Iside, “La Repubblica”,  7 agosto 2013

3. In viaggio con Darwin. La mappa segreta dell’evoluzione“La Repubblica”,  15 agosto 2013

4. Le zattere di pietra. Benvenuti alla  Hawai, le isole naviganti, “La Repubblica”,  20 agosto 2013

5. L’isola dimezzata.  Islanda, nel cuore della faglia dove ribolle l’Inferno di Dante,  “La Repubblica”,  22 agosto 2013

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Why not? «Dimostra il teorema e vinci 1 milione »

The Beal Conjecture and PrizeLEGGI TUTTO…

 

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News: gli studenti italiani e la matematica

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E. Franceschini, Gli italiani bocciati in matematica. I più bravi sono gli studenti asiatici, “La Repubblica”, 24 febbraio 2013

P. Odifreddi, Coreani geni in matematica. L’Italia due anni indietro,”La Repubblica”, 23 febbraio 2013

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